EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Ejercicio 1 resuelto

Un vector {\overrightarrow{AB}} tiene componentes {(5,-2)}. Hallar las coordenadas de {A} si se conoce el extremo {B=(12,-3)}.

1 Como no conocemos las coordenadas de {A}, las denotamos mediante {A=(x_A, y_A)}.

2 Sabemos que las coordenadas de un vector se obtienen a partir de restarle el punto inicial al punto final

{\begin{array}{rcl} B-A &=& \overrightarrow{AB} \\ &&\\ (12-x_{A}, -3-y_{A})&=& (5,-2) \end{array}}

3 Obtenemos dos ecuaciones

{12-x_{A}=5, \ \ \ \ \ \ -3-y_{A}=-2}

4 Resolvemos las dos ecuaciones y obtenemos que las coordenadas de {A} son

{A=(7,-1)}

Ejercicio 2 resuelto

Dado el vector{\overrightarrow{u}=(2,-1)} ydos vectores equipolentes a {\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AB}} y {\overrightarrow{CD}}, determinar {B} y {C} sabiendo que {A=(1,-3)} y {D=(2,0)}.

1 Como {\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AB}} son equipolentes, entonces {\overrightarrow{u} =\overrightarrow{AB}}.

2 Como no conocemos las coordenadas de {B}, las denotamos mediante {A=(x_B, y_B)}.

3 Sabemos que las coordenadas de un vector se obtienen a partir de restarle el punto inicial al punto final

{\begin{array}{rcl} B-A &=& \overrightarrow{AB} \\ &&\\ B-A &=& \overrightarrow{u} \\ &&\\ (x_{B}-1, y_{B}+3)&=& (2,-1) \end{array}}

4 Obtenemos dos ecuaciones

{x_{B}-1=2, \ \ \ \ \ \ y_{B}+3=-1}

5 Resolvemos las dos ecuaciones y obtenemos que las coordenadas de {B} son

{B=(3,-4)}

7 Resolviendo de la misma forma que para {B}, tenemos que {C=(0,1)}.

Ejercicio 3 resuelto

Calcular la distancia entre los puntos {A=(2,1)} y {B=(-3,2)}.

1 La fórmula para la distancia entre dos puntos es

{d(AB)=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}

2 Sustituimos los valores de {A} y {B} fórmula de distancia entre dos puntos y obtenemos

{d(AB)=\sqrt{(-3-2)^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{(-5)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{26}}

Ejercicio 4 resuelto

Si {\vec{v}} es un vector de componentes {(3,4)}, hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

1 La fórmula para que un vector sea unitario es

{\vec{u}=\displaystyle\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}}

2 Calculamos la magnitud de {\vec{v}}

{\vec{v}=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{25}=5}

3 Sustituimos en la fórmula para obtener un vector unitario

{\vec{u}=\displaystyle\frac{1}{5}(3,4)=\left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)}

Ejercicio 5 resuelto

Hallar un vector unitario de la misma dirección que el vector {\vec{v}=(8,-6)}.

1 La fórmula para que un vector sea unitario es

{\vec{u}=\displaystyle\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}}

2 Calculamos la magnitud de {\vec{v}}

{\vec{v}=\sqrt{(8)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{100}=10}

3 Sustituimos en la fórmula para obtener un vector unitario

{\vec{u}=\displaystyle\frac{1}{10}(8,-6)=\left( \frac{10}{8}, \frac{-6}{10}\right)=\left( \frac{4}{5}, \frac{-3}{5}\right)}

Ejercicio 6 resuelto

Calcula las coordenadas de {D} para que el cuadrilátero de vértices {A=(-1,-2), B=(4,-1), C=(5,2)} y {D} sea un paralelogramo.
Ejercicio de vertice de un paralelogramo

1 Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales en magnitud y dirección, entonces tenemos

{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}}

2 Como no conocemos las coordenadas de {D}, las denotamos mediante {D=(x_D, y_D)}.

3 Sustituimos los valores de los vértices del paralelogramo en la igualdad de vectores

{\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB}&=&\overrightarrow{CD} \\ &&\\ (4+1, -1+2) & = & (5-x_{D},2-y_{D}) \end{array}}

4 Obtenemos dos ecuaciones

{5=5-x_{D}, \ \ \ \ \ \ 1=2-y_{D}}

5 Resolviendo las ecuaciones obtenemos las coordenadas buscadas

{D=(0,1)}

Ejercicio 7 resuelto

Hallar las coordenadas del punto medio del segmento {AB}, de extremos {A=(3,9)} y {B=(-1,5)}.
1 Las fórmulas para las coordenadas del punto medio son

{x_{m}=\displaystyle\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \ \ \ \ \ \ \ y_{m}=\displaystyle\frac{y_{1}+y_{2}}{2}}

2 Sustituimos los valores de {A} y {B} en las dos fórmulas anteriores

{\begin{array}{l} x_{m}=\displaystyle\frac{3-1}{2}=1\\\\ y_{m}=\displaystyle\frac{9+5}{2}=7 \end{array}}

3 El punto medio es {P_{m}=(1,7)}.

Ejercicio 8 resuelto

Hallar las coordenadas del punto {C}, sabiendo que {B=(2,-2)} es el punto medio de {AC}, donde {A=(-3,1)}.

1 Las fórmulas para las coordenadas del punto medio son

{x_{m}=\displaystyle\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \ \ \ \ \ \ \ y_{m}=\displaystyle\frac{y_{1}+y_{2}}{2}}

2 Sustituimos los valores de {A} y {B} en las dos fórmulas anteriores y calculamos la primera coordenada de {C}

{\begin{array}{rcl} 2 &=&\displaystyle\frac{-3+x_{C}}{2}\\ && \\ 4&=& -3+x_{C} \\ && \\ 7 &=& x_{C} \end{array}}

3 La segunda coordenada de {C} es

{\begin{array}{rcl} -2 &=&\displaystyle\frac{1+y_{C}}{2}\\ && \\ -4&=& 1+y_{C} \\ && \\ -5 &=& y_{C} \end{array}}

4 Finalmente {C=(7,-5)} es

Ejercicio 9 resuelto

Averiguar si están alineados los puntos {A=(-2,-3), B=(1,0)} y {C=(6,5)}.

1 Los puntos {A, B, C} son colineales si las pendientes de los segmentos {AB} y {BC} son iguales.

{m_{AB}=\displaystyle\frac{0-(-3)}{1-(-2)}=1, \ \ \ \ \ \ \ m_{BC}=\displaystyle\frac{5-0}{6-1}=1}

2 Como ambas pendientes son iguales, entonces los tres puntos si están alineados.

Ejercicio 10 resuelto

Calcular el valor de {a} para que los puntos {A=(2,1), B=(4,2), C=(6,a)} estén alineados.

1 Los puntos {A, B, C} son colineales si las pendientes de los segmentos {AB} y {BC} son iguales.

{m_{AB}=\displaystyle\frac{2-1}{4-2}=\frac{1}{2}, \ \ \ \ \ \ \ m_{BC}=\displaystyle\frac{a-2}{6-4}=\frac{a-2}{2}}

2 Como ambas pendientes son iguales, igualamos ambas expresiones y despejamos {a}

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{a-2}{2} &=&\displaystyle\frac{1}{2}\\ && \\ a-2&=& 1 \\ && \\ a &=& 3 \end{array}}

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